作业帮已知f(x)=ln（e的x次方+a)(a为常数）是实数集R上的奇函数,函数g(x)=入f(X)+sinx是区间【-1,1】上的减函数.（1）求g(X)在x∈【-1,1】上的最大值：（2）若g(x)≤t²+入t+1对任意x∈【-1,1】及入∈（-∞
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 07:52:47
已知f(x)=ln（e的x次方+a)(a为常数）是实数集R上的奇函数,函数g(x)=入f(X)+sinx是区间【-1,1】上的减函数.（1）求g(X)在x∈【-1,1】上的最大值：（2）若g(x)≤t²+入t+1对任意x∈【-1,1】及入∈（-∞
已知f(x)=ln（e的x次方+a)(a为常数）是实数集R上的奇函数,函数g(x)=入f(X)+sinx是区间【-1,1】上的减函数.（1）求g(X)在x∈【-1,1】上的最大值：（2）若g(x)≤t²+入t+1对任意x∈【-1,1】及入∈（-∞,-1]恒成立,求t的取值范围 （3）讨论关于x的方程lnx／f(x)=x²-2ex+m的根的个数
已知f(x)=ln（e的x次方+a)(a为常数）是实数集R上的奇函数,函数g(x)=入f(X)+sinx是区间【-1,1】上的减函数.（1）求g(X)在x∈【-1,1】上的最大值：（2）若g(x)≤t²+入t+1对任意x∈【-1,1】及入∈（-∞
考点：根的存在性及根的个数判断；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；奇函数；函数恒成立问题．专题：计算题；数形结合．分析：（1）先利用f（x）是实数集R上的奇函数求出a,再利用g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1,1]上的减函数求出g（-1）即可．
（2）利用（1）的结论把问题转化为（t+1）λ+t2+sin1+1≥0在λ∈（-∞,-1]恒成立,再利用图形找到t满足的条件即可．
（3）把研究根的个数问题转化为两个函数图象的交点问题,借助于图形可得结论．（1）f（x）=ln（ex+a）是奇函数,则ln（e-x+a）=-ln（ex+a）恒成立．
∴（e-x+a）（ex+a）=1.1+ae-x+aex+a2=1,∴a（ex+e-x+a）=0,∴a=0．
又∵g（x）在[-1,1]上单调递减,∴g（x）max=g（-1）=-λ-sin1,
（2）只需-λ-sin1≤t2+λt+1在λ∈（-∞,-1]上恒成立,
∴（t+1）λ+t2+sin1+1≥0在λ∈（-∞,-1]恒成立．
令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1（λ≤-1）,则t+1≤0-t-1+t2+sin1+1≥0
∴t≤-1t2-t+sin1≥0而t2-t+sin1≥0恒成立,∴t≤-1．
（3）由（1）知f（x）=x,∴方程为lnxx=x2-2ex+m,
令f1(x)=lnxx,f2(x)=x2-2ex+m,
∵f′1(x)=1-lnxx2,
当x∈（0,e）时,f′1（x）≥0,f1（x）在x∈（0,e]上为增函数；
x∈[e,+∞）时,f′1（x）≤0,f1（x）在x∈[e,+∞）上为减函数,
当x=e时,f1(x)max=f1(e)=1e．
而f2（x）=（x-e）2+m-e2,
∴函数f1（x）、f2（x）在同一坐标系的大致图象如图所示,
∴①当m-e2＞1e,即m＞e2+1e时,方程无解．
②当m-e2=1e,即m=e2+1e时,方程有一个根．
③当m-e2＜1e,即m＜e2+1e时,方程有两个根．点评：本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、最值、导数、不等式等基础知识,考查运用导数研究函数性质的方法,以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法,考查分析问题和解决问题的能力．