作业帮∫（cosx-2sinx)/(sinx+2cosx)^2dx用换元积分法.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 12:09:45
∫（cosx-2sinx)/(sinx+2cosx)^2dx用换元积分法.
∫（cosx-2sinx)/(sinx+2cosx)^2dx用换元积分法.
∫（cosx-2sinx)/(sinx+2cosx)^2dx用换元积分法.
∫（cosx-2sinx)/(sinx+2cosx)^2dx
=∫[1/(sinx+2cosx)^2]d(sinx+2cosx)
令sinx+2cosx=t,则积分变为
∫(1/t²)dt
=-(1/t)
=-1/(sinx+2cosx)
∫（cosx-2sinx)/(sinx+2cosx)^2dx
=∫1/(sinx+2cosx)^2d(sinx+2cosx)
=-1/(sinx+2cosx)+C
设tanx/2=u,则x=2arctanu,dx=2du/(1+u^2)
sinx=2u/(1+u^2),cosx=(1-u^2)/(1+u^2)
所以原式=∫(1-u^2-4u)(1+u^2)/(2u+2-2u^2)dx
=∫(-u^2-4u+1)/(-u^2+u+1)du
=∫[1-5u/(-u^2+u+1)]du
=∫[1+5/2(2u-1)/(u^2...
全部展开
设tanx/2=u,则x=2arctanu,dx=2du/(1+u^2)
sinx=2u/(1+u^2),cosx=(1-u^2)/(1+u^2)
所以原式=∫(1-u^2-4u)(1+u^2)/(2u+2-2u^2)dx
=∫(-u^2-4u+1)/(-u^2+u+1)du
=∫[1-5u/(-u^2+u+1)]du
=∫[1+5/2(2u-1)/(u^2-u-1)+5/2/[(u-1/2)^2]-5/4]du
=u+5/2ln(u^2-u-1)+√5/2ln|(u-1/2-√5/2)/(u-1/2+∨5/2)|+C
将u=tanx/2代入即可，太复杂这里就不打了。不会随时追问。
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