求函数y=1/2sinx+2sinx,x在区间[45°,90°]内的最大值

求函数y=1/2sinx+2sinx,x在区间[45°,90°]内的最大值
求函数y=1/2sinx+2sinx,x在区间[45°,90°]内的最大值

求函数y=1/2sinx+2sinx,x在区间[45°,90°]内的最大值
设t=2sinx∈[根号2,2]
y=1/t+t
y'=1-1/t^2=(t^2-1)/t^2
在t∈[根号2,2]上是增函数
所以
y最大=y(2)=1/2+2=5/2

y=1/2sinx+2sinx,2sinx=t
√2<=t<2
y=(t^2+1)/t增函数
t=2
ymax=5/2

y=2sinx+1/(2sinx)
2sinx=tanu
y=tanu+1/tanu
=sinu/cosu+cosu/sinu
=1/sinucosu=2/sin2u
sin2u=2tanu/(1+(tanu)^2)
tanu最大=2
sin2u最小=4/5
y最大=10/4=5/2

令t=2sinx,则y=1/t+t,t∈[√2,2],y的导数y'=1-1/t^2>0所以，y=1/t+t在区间[√2，2]上是单调递增的。所以当t=2时y取得最大值ymax=1/2+2=2.5,即当x=90°时，原函数取得最大值2.5